PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (Phần 2)

Trở lại phương trình vi phân cấp 1 đã xét ở bài viết trước

$M\left( x,y \right)+N\left( x,y \right){y}'=0$    (1)

trong đó $M\left( x,y \right),N\left( x,y \right)$ là hai hàm khả vi và có các đạo hàm riêng $\frac{\partial M\left( x,y \right)}{\partial y},\frac{\partial N\left( x,y \right)}{\partial x}$ liên tục trong tập 
       $S=\left({{x}_{0}}-{{h}_{1}},{{x}_{0}}+{{h}_{1}} \right)\times \left( {{y}_{0}}-{{h}_{2}},{{y}_{0}}+{{h}_{2}} \right)$.

            Giả sử phương trình (1) không là phương trình vi phân toàn phần, tức điều kiện

$\frac{\partial M\left( x,y \right)}{\partial y}=\frac{\partial N\left( x,y \right)}{\partial x}$

không xảy ra. Nhân hai vế của phương trình (1) cho hàm $\mu \left( x,y \right)$ khác không, khả vi và có các đạo hàm riêng liên tục trong tập $S$ ta được phương trình sau

$\mu \left( x,y \right)M\left( x,y \right)+\mu \left( x,y \right)N\left( x,y \right){y}'=0.$  (2)

            Ta sẽ xác định $\mu \left( x,y \right)$ để phương trình (2) là toàn phần, tức

$\frac{\partial \left( \mu M \right)}{\partial y}=\frac{\partial \left( \mu N \right)}{\partial x}$  (3)

            Hàm số $\mu \left( x,y \right)$ thỏa điều kiện (3) được gọi là thừa số tích phân của phương trình (1).

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (Phần 1)

Một trong các phương trình vi phân quan trọng là phương trình vi phân cấp 1 $$y'=f(x,y)                             (1)$$ trong đó hàm số $f(x,y)$ xác định trong hình chữ nhật mở $S = \left( {{x_0} - {h_1},{x_0} + {h_1}} \right) \times \left( {{y_0} - {h_2},{y_0} + {h_2}} \right);h_1,h_2>0$. 

Trong bài viết này, ta sẽ đưa ra phương pháp tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1) với một số điều kiện bổ sung phù hợp.

Giả sử ta có thể biểu diễn hàm $f(x,y)$ dưới dạng

$$f\left( {x,y} \right) =  - \frac{{M\left( {x,y} \right)}}{{N\left( {x,y} \right)}}                       (2)$$ trong đó hai hàm $M(x,y),N(x,y)$ khả vi và có các đạo hàm riêng $\frac{{\partial M\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}},\frac{{\partial N\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}$ liên tục trong tập $S$.

Với đẳng thức (2), phương trình vi phân (1) có thể viết lại như sau:

$M\left( {x,y} \right) + N\left( {x,y} \right)y' = 0.         (3)$

Định nghĩa 1. Phương trình vi phân (3) được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại hàm hai biến $u(x,y)$ xác định trên $S$ và thỏa điều kiện

$\frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}} = M\left( {x,y} \right);\frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}} = N\left( {x,y} \right).    (4)$

Nếu (3) là phương trình vi phân toàn phần thì việc tìm nghiệm tổng quát khá đơn giản. Thật vậy, với sự tồn tại của hàm $u(x,y)$ thỏa điều kiện (4) ta được 
$0 = M\left( {x,y} \right) + N\left( {x,y} \right)y' = \frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}}y' = \frac{{du\left( {x,y} \right)}}{{dx}}.$
Ta suy ra (3) có nghiệm tổng quát (dưới dạng hàm ẩn) là
$$u(x,y)=C$$ trong đó $C$ là hằng số.

Từ điều kiện (4) ta suy ra được

$\frac{{{\partial ^2}u\left( {x,y} \right)}}{{\partial x\partial y}} = \frac{{\partial M\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}};\frac{{{\partial ^2}u\left( {x,y} \right)}}{{\partial y\partial x}} = \frac{{\partial N\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}.$

Vì các đạo hàm riêng $\frac{{\partial M\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}},\frac{{\partial N\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}$ liên tục trong tập $S$ nên theo Định lý Schwart ta nhận được \[\frac{{{\partial ^2}u\left( {x,y} \right)}}{{\partial x\partial y}} = \frac{{{\partial ^2}u\left( {x,y} \right)}}{{\partial y\partial x}},\] suy ra

$\frac{{\partial M\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}                         (5)$