TÍCH CHẬP DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG

Trước hết, ta sẽ định nghĩa lại khái niệm tích chập Dirichlet: Cho hai hàm số số học $f,g:{{Z}_{>0}}\to R$. Tích chập Dirichlet của hai hàm $f$ và $g$, ký hiệu $f*g$, là một hàm số số học xác định bởi công thức

$\left( f*g \right)\left( n \right)=\sum\limits_{d|n}{f\left( d \right)g\left( \frac{n}{d} \right)},\forall n\in {{Z}_{>0}}$

Tích chập Dirichlet đã được giới thiệu một cách sơ lược trong bài viết Định lý số nguyên tố (Phần 2). Tuy nhiên, để có cái nhìn cụ thể và sâu rộng hơn về vấn đề này, người viết xin dành một bài để tìm hiểu những kết quả liên quan đến tích chập Dirichlet.

ĐỊNH LÝ SỐ NGUYÊN TỐ (PHẦN 4)

Trong Phần 3 ta đã biết:

+ $0.9072x \le \alpha \left( x \right) \le 0.9353x,\forall x \in {R_{ \ge 3000}}$ với

$\alpha \left( x \right) = T\left( x \right) - T\left( {\frac{x}{2}} \right) - T\left( {\frac{x}{3}} \right) - T\left( {\frac{x}{5}} \right) + T\left( {\frac{x}{{30}}} \right)$ trong đó $T\left( x \right) = \ln \left( {\left[ x \right]!} \right)$.

+ $\alpha \left( x \right)\le \psi \left( x \right)\le \psi \left( \frac{x}{6} \right)+\alpha \left( x \right),\forall x\in {{R}_{\ge 2}}$ với $\psi \left( x \right)=\sum\limits_{n\le x}{\Lambda \left( n \right)}$.    
+ $\psi \left( x \right)-\sqrt{x}\ln x\le \theta \left( x \right)\le \psi \left( x \right),x\in {{R}_{\ge 2}}$ với $\theta \left( x \right)=\sum\limits_{p\le x}{\ln p}$. 

Trong trường hợp $x\in \left[ 2,3000 \right]$, bằng cách sử dụng phần mềm Maple (xem kết quả tính toán tại đây) ta thu được $0.3465x\le \alpha \left( x \right)\le 0.9820x$. Kết hợp với kết quả trên, ta có:

ĐỊNH LÝ SỐ NGUYÊN TỐ (PHẦN 3)

Trong bài viết hôm nay, ta tiếp tục tìm hiểu một số khái niệm quan trọng, có rất nhiều ứng dụng trong số học.
Định nghĩa 1: Hàm Mangodlt, ký hiệu $\Lambda \left( n \right)$ , được xác định như sau: $\Lambda \left( n \right)=\ln p$ nếu $n={{p}^{k}},k\ge 1$ và $\Lambda \left( n \right)=0$ trong các trường hợp còn lại.

Hàm Chebyshev, ký hiệu $\psi \left( x \right)$, được xác định bởi công thức

$\psi \left( x \right)=\sum\limits_{n\le x}{\Lambda \left( n \right)}$.

Để thuận tiện cho việc trình bày ta sẽ làm quen thêm một số hàm số cơ bản

$\theta \left( x \right)=\sum\limits_{p\le x}{\ln p}$,

$T\left( x \right)=\sum\limits_{n\le x}{\ln n}=\ln \left( \left[ x \right]! \right)$

ĐỊNH LÝ SỐ NGUYÊN TỐ (PHẦN 2)

Trong bài viết hôm nay, ta sẽ tìm hiểu một số khái niệm quan trọng để giải quyết Định lý Số nguyên tố cũng như các kết quả quan trọng khác.

ĐỊNH LÝ SỐ NGUYÊN TỐ (PHẦN 1)

Việc có hay không một công thức tường minh để xác định tất cả các số nguyên tố hiện nay vẫn là một câu hỏi mở, được nhiều nhà toán học quan tâm. Tương tự, câu hỏi có bao nhiêu số nguyên tố không vượt quá một số cho trước cũng được nhiều thế hệ  các nhà toán học nghiên cứu và đưa ra những kết quả kinh ngạc. Với sự đam mê của bản thân về chủ đề này, người viết hi vọng sẽ dẫn dắt các bạn khám phá lâu đài các số nguyên tố (ở mức cơ bản nhất có thể) . Mỗi một kết quả được nêu ra đều là những tinh túy của trí tuệ mà các nhà toán học để lại cho nhân loại.