PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (Phần 2)

Trở lại phương trình vi phân cấp 1 đã xét ở bài viết trước

$M\left( x,y \right)+N\left( x,y \right){y}'=0$    (1)

trong đó $M\left( x,y \right),N\left( x,y \right)$ là hai hàm khả vi và có các đạo hàm riêng $\frac{\partial M\left( x,y \right)}{\partial y},\frac{\partial N\left( x,y \right)}{\partial x}$ liên tục trong tập 
       $S=\left({{x}_{0}}-{{h}_{1}},{{x}_{0}}+{{h}_{1}} \right)\times \left( {{y}_{0}}-{{h}_{2}},{{y}_{0}}+{{h}_{2}} \right)$.

            Giả sử phương trình (1) không là phương trình vi phân toàn phần, tức điều kiện

$\frac{\partial M\left( x,y \right)}{\partial y}=\frac{\partial N\left( x,y \right)}{\partial x}$

không xảy ra. Nhân hai vế của phương trình (1) cho hàm $\mu \left( x,y \right)$ khác không, khả vi và có các đạo hàm riêng liên tục trong tập $S$ ta được phương trình sau

$\mu \left( x,y \right)M\left( x,y \right)+\mu \left( x,y \right)N\left( x,y \right){y}'=0.$  (2)

            Ta sẽ xác định $\mu \left( x,y \right)$ để phương trình (2) là toàn phần, tức

$\frac{\partial \left( \mu M \right)}{\partial y}=\frac{\partial \left( \mu N \right)}{\partial x}$  (3)

            Hàm số $\mu \left( x,y \right)$ thỏa điều kiện (3) được gọi là thừa số tích phân của phương trình (1).

            Từ (3) ta suy ra

\[M\frac{{\partial \mu }}{{\partial y}} - N\frac{{\partial \mu }}{{\partial x}} = \mu \left( {\frac{{\partial N}}{{\partial x}} - \frac{{\partial M}}{{\partial y}}} \right)    (4)\]         Sau đây, ta nêu ra một vài phương pháp giải phương trình vi phân (4).

Giả sử ta có phân tích $\mu \left( x,y \right)=\alpha \left( x \right)\beta \left( y \right)$. Khi đó, (4) trở thành

\[M\frac{1}{\beta }\frac{d\beta }{dy}-N\frac{1}{\alpha }\frac{d\alpha }{dx}=\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\]

Nếu có biểu diễn \[\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=Mh\left( y \right)-Ng\left( x \right)\], ta sẽ chọn hai hàm $\alpha \left( x \right),\beta \left( y \right)$ sao cho

 Vậy ta tìm được thừa số tích phân $\mu \left( {x,y} \right) = {e^{\int {h\left( y \right)dy}  + \int {g\left( x \right)dx} }}$.
Ví dụ 1. Giải phương trình vi phân $\left( {y - {y^2}} \right)dx + xdy = 0$.
Giải. Trước hết ta có $$\frac{{\partial N}}{{\partial x}} - \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = 1 - \left( {1 - 2y} \right) = 2y = \left( {y - {y^2}} \right)\frac{2}{{1 - y}} - x.0$$ Ta chọn $h\left( y \right) = \frac{2}{{1 - y}};g\left( x \right) = 0$. Thừa số tích phân của phương trình vi phân trên là $$\mu \left( {x,y} \right) = {e^{\int {h\left( y \right)dy}  + \int {g\left( x \right)dx} }} = \frac{1}{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}.$$ Chọn ${{x}_{0}}=0;{{y}_{0}}=2$, phương trình vi phân đã cho có nghiệm tổng quát

$\int\limits_{2}^{y}{\frac{x}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}dt+\int\limits_{0}^{x}{\frac{2}{1-2}}dt=C}\Leftrightarrow \frac{xy}{y-1}=C$.

Ngoài phương pháp trên, ta có thể tìm thừa số tích phân theo dạng $\mu \left( v \right)$ trong đó $v$ là hàm đã biết theo hai biến $x,y$. Khi đó, từ (4) dẫn tới

$\frac{1}{\mu }\frac{d\mu }{dv}=\frac{\left( {{{{N}'}}_{x}}-{{{{M}'}}_{y}} \right)}{M{{{{v}'}}_{y}}-N{{{{v}'}}_{x}}}$ (5)

             Nếu vế phải của (5) có thể biểu diễn như một hàm của $v$, ta gọi là $\varphi \left( v \right)$, thì từ (5) ta xác định được thừa số tích phân như sau $\mu ={{e}^{\int{\varphi \left( v \right)dv}}}$.

            Một vài trường hợp đặc biệt của $v$ và tương ứng $\varphi \left( v \right)$ được cho trong bảng sau: 

Ví dụ 2. Giải phương trình vi phân $$\left( {{x}^{2}}y+y+1 \right)+x\left( 1+{{x}^{2}} \right){y}'=0.$$

Giải

Chọn $v=x$, ta có

$\frac{{{{{N}'}}_{x}}-{{{{M}'}}_{y}}}{-N}=\frac{3{{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}-1}{-x\left( 1+{{x}^{2}} \right)}=-\frac{2x}{1+{{x}^{2}}}=-\frac{2v}{1+{{v}^{2}}}=\varphi \left( v \right)$

Ta tìm được thừa số tích phân

$\mu ={{e}^{\int{\varphi \left( v \right)dv}}}={{e}^{-\ln \left( {{v}^{2}}+1 \right)}}=\frac{1}{{{v}^{2}}+1}=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}$

Chọn ${{x}_{0}}={{y}_{0}}=0$, phương trình vi phân trên có nghiệm tổng quát là

$xy+\arctan x=C$.

Ví dụ 3. Giải phương trình vi phân $$\left( x{{y}^{3}}+2{{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{y}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}+2{{x}^{3}}y-2{{x}^{2}} \right){y}'=0$$

Giải

Chọn $v=xy$, ta có

$\varphi \left( v \right)=\frac{{{{{N}'}}_{x}}-{{{{M}'}}_{y}}}{Mx-Ny}=1-\frac{2}{xy}=1-\frac{2}{v}$

Ta tìm được thừa số tích phân

$\mu ={{e}^{\int{\varphi \left( v \right)dv}}}={{e}^{\int{\left( 1-\frac{2}{v} \right)dv}}}={{e}^{v-2\ln v}}=\frac{{{e}^{xy}}}{{{\left( xy \right)}^{2}}}$

Chọn ${{x}_{0}}={{y}_{0}}=0$, phương trình vi phân trên có nghiệm tổng quát là

${{e}^{xy}}\left( \frac{1}{x}+\frac{2}{y} \right)=C$.