Trở lại phương trình vi phân cấp 1 đã xét ở bài viết trước
$M\left( x,y
\right)+N\left( x,y \right){y}'=0$ (1)
trong đó $M\left( x,y
\right),N\left( x,y \right)$ là hai hàm khả vi và có các đạo hàm riêng $\frac{\partial
M\left( x,y \right)}{\partial y},\frac{\partial N\left( x,y \right)}{\partial
x}$ liên tục trong tập
$S=\left( {{x}_{0}}-{{h}_{1}},{{x}_{0}}+{{h}_{1}} \right)\times \left( {{y}_{0}}-{{h}_{2}},{{y}_{0}}+{{h}_{2}} \right)$.
$S=\left( {{x}_{0}}-{{h}_{1}},{{x}_{0}}+{{h}_{1}} \right)\times \left( {{y}_{0}}-{{h}_{2}},{{y}_{0}}+{{h}_{2}} \right)$.
Định lý 1. Nếu (1) là phương trình vi phân toàn phần và có thừa số tích phân $\mu
\left( x,y \right)$ (không là constant), thì $\mu \left( x,y \right)=c$ là nghiệm
của (1).
Chứng minh. Như đã biết, nếu $\mu
\left( x,y \right)$ là thừa số tích phân của (1) thì
$M\frac{\partial \mu
}{\partial y}-N\frac{\partial \mu }{\partial x}=\mu \left( \frac{\partial
N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} \right)$
Mặt khác,
theo giả thiết đề bài, (1) là phương trình vi phân toàn phần nên ta được $\frac{\partial
N}{\partial x}=\frac{\partial M}{\partial y}$, suy ra $M\frac{\partial \mu
}{\partial y}=N\frac{\partial \mu }{\partial x}$.
Nhân hai vế
của (1) cho $\frac{\partial \mu }{\partial y}$ ta được
$0=\frac{\partial \mu
}{\partial y}\left( M+N{y}' \right)=M\frac{\partial \mu }{\partial
y}+N\frac{\partial \mu }{\partial y}{y}'$
$=N\frac{\partial \mu
}{\partial x}+N\frac{\partial \mu }{\partial y}{y}'=N\left( \frac{\partial \mu
}{\partial x}+\frac{\partial \mu }{\partial y}{y}' \right)=N\frac{d\mu }{dx}$
Vậy $\mu
\left( x,y \right)=c$ là nghiệm của (1).
Định lý 2. Nếu ${{\mu }_{1}}\left( x,y \right),{{\mu }_{2}}\left( x,y \right)$ (tỉ
số ${{\mu }_{1}}/{{\mu }_{2}}$ không là constant) là hai thừa số tích phân của
phương trình vi phân (1) thì ${{\mu }_{1}}\left( x,y \right)=c{{\mu
}_{2}}\left( x,y \right)$ ($c$ là hằng số) là nghiệm của (1).
Chứng minh. Vì ${{\mu }_{2}}\left( x,y
\right)$ là thừa số tích phân của (1) nên phương trình vi phân ${{\mu
}_{2}}M+{{\mu }_{2}}N{y}'=0$ (2) là toàn phần. Nhân cả hai vế của (2) cho hàm số
${{\mu }_{1}}/{{\mu }_{2}}$ ta được ${{\mu
}_{1}}M+{{\mu }_{1}}N{y}'=0$, điều này chứng tỏ ${{\mu }_{1}}/{{\mu }_{2}}$ là
thừa số tích phân của phương trình (2). Áp dụng Định lý 1, ${{\mu }_{1}}/{{\mu
}_{2}}=c$ là nghiệm của phương trình
(2), tức cũng là nghiệm của (1).
Ví dụ 1. Phương trình vi phân $\left(
y-{{y}^{2}} \right)+x{y}'=0$ (3) có hai thừa số tích phân (có tỉ số khác hằng số)
là ${{\mu }_{1}}\left( x,y \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}$ và ${{\mu
}_{2}}\left( x,y \right)=\frac{1}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}$. Theo Định lý 2,
phương trình (3) có nghiệm tổng quát là ${{x}^{2}}{{y}^{2}}=c{{\left( 1-y
\right)}^{2}}$.
Sau
đây ta sẽ tìm hiểu một số dạng đặc biệt của phương trình (1).
