PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (Phần 1)

Một trong các phương trình vi phân quan trọng là phương trình vi phân cấp 1 $$y'=f(x,y)                             (1)$$ trong đó hàm số $f(x,y)$ xác định trong hình chữ nhật mở $S = \left( {{x_0} - {h_1},{x_0} + {h_1}} \right) \times \left( {{y_0} - {h_2},{y_0} + {h_2}} \right);h_1,h_2>0$. 

Trong bài viết này, ta sẽ đưa ra phương pháp tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1) với một số điều kiện bổ sung phù hợp.

Giả sử ta có thể biểu diễn hàm $f(x,y)$ dưới dạng

$$f\left( {x,y} \right) =  - \frac{{M\left( {x,y} \right)}}{{N\left( {x,y} \right)}}                       (2)$$ trong đó hai hàm $M(x,y),N(x,y)$ khả vi và có các đạo hàm riêng $\frac{{\partial M\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}},\frac{{\partial N\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}$ liên tục trong tập $S$.

Với đẳng thức (2), phương trình vi phân (1) có thể viết lại như sau:

$M\left( {x,y} \right) + N\left( {x,y} \right)y' = 0.         (3)$

Định nghĩa 1. Phương trình vi phân (3) được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại hàm hai biến $u(x,y)$ xác định trên $S$ và thỏa điều kiện

$\frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}} = M\left( {x,y} \right);\frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}} = N\left( {x,y} \right).    (4)$

Nếu (3) là phương trình vi phân toàn phần thì việc tìm nghiệm tổng quát khá đơn giản. Thật vậy, với sự tồn tại của hàm $u(x,y)$ thỏa điều kiện (4) ta được 
$0 = M\left( {x,y} \right) + N\left( {x,y} \right)y' = \frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}}y' = \frac{{du\left( {x,y} \right)}}{{dx}}.$
Ta suy ra (3) có nghiệm tổng quát (dưới dạng hàm ẩn) là
$$u(x,y)=C$$ trong đó $C$ là hằng số.

Từ điều kiện (4) ta suy ra được

$\frac{{{\partial ^2}u\left( {x,y} \right)}}{{\partial x\partial y}} = \frac{{\partial M\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}};\frac{{{\partial ^2}u\left( {x,y} \right)}}{{\partial y\partial x}} = \frac{{\partial N\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}.$

Vì các đạo hàm riêng $\frac{{\partial M\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}},\frac{{\partial N\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}$ liên tục trong tập $S$ nên theo Định lý Schwart ta nhận được \[\frac{{{\partial ^2}u\left( {x,y} \right)}}{{\partial x\partial y}} = \frac{{{\partial ^2}u\left( {x,y} \right)}}{{\partial y\partial x}},\] suy ra

$\frac{{\partial M\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}                         (5)$

Vậy nếu (3) là phương trình vi phân toàn phần thì (5) được thỏa. Ngược lại, nếu (5) thỏa thì (3) là phương trình vi phân toàn phần. Thật vậy, giả sử $u(x,y)$ là hàm thỏa điều kiện 

$\frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}} = M\left( {x,y} \right)      (6)$

Lấy tích phân hai vế của (6) theo biến $x$ ta được
$$u\left( {x,y} \right) = \int\limits_{{x_0}}^x {M\left( {t,y} \right)dt}  + \varepsilon \left( y \right)               (7)$$ ở đây $\varepsilon (y)$ là hàm số chỉ phụ thuộc vào biến $y$. Ta sẽ chỉ ra rằng luôn tồn tại $\varepsilon (y)$ để
$$\frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}} = N\left( {x,y} \right)       (8)$$
Từ (7) ta suy ra

$$\frac{{\partial u\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\int\limits_{{x_0}}^x {M\left( {t,y} \right)dt}  + \varepsilon '\left( y \right).$$

Để có (8) thì 

$$N\left( {x,y} \right) = \frac{\partial }{{\partial y}}\int\limits_{{x_0}}^x {M\left( {t,y} \right)dt}  + \varepsilon '\left( y \right).$$ hay

$$\varepsilon '\left( y \right) = N\left( {x,y} \right) - \frac{\partial }{{\partial y}}\int\limits_{{x_0}}^x {M\left( {t,y} \right)dt}    (9)$$

Ta chứng tỏ vế trái của (9) làm một hàm chỉ phụ thuộc vào biến $y$. Thật vậy, lấy đạo hàm riêng vế trái của (9) theo biến $x$ ta được

$\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {N\left( {x,y} \right) - \frac{\partial }{{\partial y}}\int\limits_{{x_0}}^x {M\left( {t,y} \right)dt} } \right) = \frac{{\partial N\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}} - \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial x\partial y}}\int\limits_{{x_0}}^x {M\left( {t,y} \right)dt} $
$ = \frac{{\partial N\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}} - \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial y\partial x}}\int\limits_{{x_0}}^x {M\left( {t,y} \right)dt}  = \frac{{\partial N\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}} - \frac{{\partial M\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}} = 0.$

Điều này khẳng định hàm số $N\left( {x,y} \right) - \frac{\partial }{{\partial y}}\int\limits_{{x_0}}^x {M\left( {t,y} \right)dt} $ chỉ phụ thuộc vào biến $y$. Do đó, đẳng thức (9) là đúng đắn. Hơn nữa, từ (9), lấy tích phân theo biến $y$ ta được

$\varepsilon \left( y \right) = \int\limits_{{y_0}}^y {N\left( {x,t} \right)dt}  - \int\limits_{{y_0}}^y {\left( {\frac{\partial }{{\partial s}}\int\limits_{{x_0}}^x {M\left( {t,s} \right)dt} } \right)ds}  + \varepsilon \left( {{y_0}} \right)$

$ = \int\limits_{{y_0}}^y {N\left( {x,t} \right)dt}  - \int\limits_{{x_0}}^x {M\left( {t,y} \right)dt}  + \int\limits_{{x_0}}^x {M\left( {t,{y_0}} \right)dt}  + \varepsilon \left( {{y_0}} \right)$

Ta suy ra

$u\left( {x,y} \right) = \int\limits_{{y_0}}^y {N\left( {x,t} \right)dt}  + \int\limits_{{x_0}}^x {M\left( {t,{y_0}} \right)dt}  + \varepsilon \left( {{y_0}} \right)$

Sự tồn tại của $u(x,y)$ đã được khẳng định, đồng thời phương trình (3) có nghiệm tổng quát là

$\int\limits_{{y_0}}^y {N\left( {x,t} \right)dt}  + \int\limits_{{x_0}}^x {M\left( {t,{y_0}} \right)dt}  = C.$ 

Ví dụ. Giải phương trình $\left( {{e^y} + x} \right) + \left( {x{e^y} + y} \right)y' = 0$.
Giải. Đặt $M\left( {x,y} \right) = {e^y} + x;N\left( {x,y} \right) = x{e^y} + y$. Ta thấy 
$$\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = {e^y} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}$$ nên phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần. Chọn $x_0=y_0=0$ ta được nghiệm tổng quát của phương trình là

$\int\limits_0^y {N\left( {x,t} \right)dt}  + \int\limits_0^x {M\left( {t,0} \right)} dt = C$

$ \Leftrightarrow \int\limits_0^y {\left( {x{e^t} + t} \right)dt}  + \int\limits_0^x {\left( {t + 1} \right)} dt = C$

$ \Leftrightarrow x{e^y} + \frac{{{y^2}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{2} = C.$

Bài tập. Giải các phương trình vi phân toàn phần sau:

1. $\left( {x + y} \right)dx + \left( {x - y} \right)y' = 0$.

2. $\left( {y + y\sin x} \right)dx + \left( {x + y - \cos x} \right)dy = 0$.

3. $\left( {y{e^x} + \tan x} \right)dx + \left( {{e^x} + \tan y} \right)dy = 0$.