Trở lại phương trình vi phân cấp 1 đã xét ở bài viết trước
$M\left( x,y
\right)+N\left( x,y \right){y}'=0$ (1)
trong đó $M\left( x,y
\right),N\left( x,y \right)$ là hai hàm khả vi và có các đạo hàm riêng $\frac{\partial
M\left( x,y \right)}{\partial y},\frac{\partial N\left( x,y \right)}{\partial
x}$ liên tục trong tập
$S=\left({{x}_{0}}-{{h}_{1}},{{x}_{0}}+{{h}_{1}} \right)\times \left( {{y}_{0}}-{{h}_{2}},{{y}_{0}}+{{h}_{2}} \right)$.
$S=\left({{x}_{0}}-{{h}_{1}},{{x}_{0}}+{{h}_{1}} \right)\times \left( {{y}_{0}}-{{h}_{2}},{{y}_{0}}+{{h}_{2}} \right)$.
Giả
sử phương trình (1) không là phương trình vi phân toàn phần, tức điều kiện
$\frac{\partial
M\left( x,y \right)}{\partial y}=\frac{\partial N\left( x,y \right)}{\partial
x}$
không xảy ra. Nhân hai vế của phương trình (1) cho hàm $\mu
\left( x,y \right)$ khác không, khả vi và có các đạo hàm riêng liên tục trong tập $S$ ta được phương trình sau
$\mu \left( x,y
\right)M\left( x,y \right)+\mu \left( x,y \right)N\left( x,y \right){y}'=0.$ (2)
Ta sẽ xác định
$\mu \left( x,y \right)$ để phương trình (2) là toàn phần, tức
$\frac{\partial
\left( \mu M \right)}{\partial y}=\frac{\partial \left( \mu N \right)}{\partial
x}$ (3)
Hàm số $\mu
\left( x,y \right)$ thỏa điều kiện (3) được gọi là thừa số tích phân của phương
trình (1).