PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (Phần cuối)

 Ta xét phương trình vi phân cấp 1

$M\left( x,y \right)+N\left( x,y \right){y}'=0$  (1)

            Giả sử $M\left( x,y \right)={{p}_{1}}\left( x \right)y-r\left( x \right);N\left( x,y \right)={{p}_{0}}\left( x \right)$, trong đó các hàm số ${{p}_{0}}\left( x \right),{{p}_{1}}\left( x \right),r\left( x \right)$ liên tục trong tập $J\subset R$ và ${{p}_{0}}\left( x \right)\ne 0,\forall x\in J$. Khi đó, phương trình (1) đã cho trở thành

${{p}_{0}}\left( x \right){y}'+{{p}_{1}}\left( x \right)y=r\left( x \right)$ (2)

            Chia cả hai vế của (2) cho ${{p}_{0}}\left( x \right)$, đồng thời ta đặt $p\left( x \right)=\frac{{{p}_{1}}\left( x \right)}{{{p}_{0}}\left( x \right)};q\left( x \right)=\frac{r\left( x \right)}{{{p}_{0}}\left( x \right)}$  thì phương trình (2) có dạng

${y}'+p\left( x \right)y=q\left( x \right)$ (3)

            Phương trình (3) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

            Trước hết ta xét trường hợp đơn giản $q\left( x \right)\equiv 0$. Khi đó, phương trình (3) trở thành

${y}'+p\left( x \right)y=0$ (4)

            Phương trình (4) luôn có nghiệm tầm thường là $y\left( x \right)\equiv 0$. Nếu $y\left( x \right)$ không đồng nhất bằng không, biến đổi (4) về dạng tương đương

$\frac{{{y}'}}{y}=-p\left( x \right)$ (5)

            Lấy tích phân hai vế của (5) ta được

$y=C\exp \left( -\int{p\left( x \right)dx} \right)$ (6)

            Từ (6) cho $C=0$ thì ta được $y\left( x \right)\equiv 0$. Do đó, phương trình (4) có nghiệm tổng quát là (6).

            Để giải (3) ta dùng phương pháp biến thiên hẳng số được sáng tạo bởi Lagrange. Trong (6) ta giả sử hằng số $C$ là một hàm số của $x$, tức là

$y\left( x \right)=C\left( x \right)\exp \left( -\int{p\left( x \right)dx} \right)$ (7)

            Thay (7) vào (3) ta được

${C}'\left( x \right)\exp \left( -\int{p\left( x \right)dx} \right)-C\left( x \right)p\left( x \right)\exp \left( -\int{p\left( x \right)dx} \right)$

$+C\left( x \right)p\left( x \right)\exp \left( -\int{p\left( x \right)dx} \right)=q\left( x \right)$

$\Leftrightarrow {C}'\left( x \right)=q\left( x \right)\exp \left( \int{p\left( x \right)dx} \right)$

            Từ đây ta suy ra $C\left( x \right)=\int{q\left( x \right)\exp \left( \int{p\left( x \right)dx} \right)dx}+c$ với $c$ là hằng số, thay vào (7) ta được nghiệm tổng quát của (3) là

$y\left( x \right)=\exp \left( -\int{p\left( x \right)dx} \right)\left[ c+\int{q\left( x \right)\exp \left( \int{p\left( x \right)dx} \right)}dx \right]$  (8)

            Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân ${y}'-2y={{e}^{-2x}}$ biết $y\left( 0 \right)=1$.

            Giải

            Áp dụng công thức (8) với $p\left( x \right)=-2;q\left( x \right)={{e}^{2x}}$ ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là $y\left( x \right)={{e}^{2x}}\left( x+c \right)$. Vì $y\left( 0 \right)=1$ nên ta suy ra $c=1$.

            Nếu ${{y}_{1}}\left( x \right),{{y}_{2}}\left( x \right)$ là hai nghiệm riêng phân biệt của (3) thì

${{{y}'}_{1}}\left( x \right)-{{{y}'}_{2}}\left( x \right)=-p\left( x \right)\left( {{y}_{1}}\left( x \right)-{{y}_{2}}\left( x \right) \right)$  (9)

            Từ (9) ta suy ra hàm số $y\left( x \right)={{y}_{1}}\left( x \right)-{{y}_{2}}\left( x \right)$ là nghiệm của (4). Do đó, nếu phương trình (3) có hai nghiệm riêng phân biệt ${{y}_{1}}\left( x \right),{{y}_{2}}\left( x \right)$ thì $y\left( x \right)=c\left( {{y}_{1}}\left( x \right)-{{y}_{2}}\left( x \right) \right)+{{y}_{1}}\left( x \right)$ hoặc $y\left( x \right)=c\left( {{y}_{1}}\left( x \right)-{{y}_{2}}\left( x \right) \right)+{{y}_{2}}\left( x \right)$ là nghiệm tổng quát của (3).

            Ví dụ 2: Phương trình vi phân ${y}'-\frac{y}{x}=x$ có hai nghiệm riêng ${{y}_{1}}\left( x \right)={{x}^{2}}+x$ và ${{y}_{2}}\left( x \right)={{x}^{2}}$. Do đó,

$y\left( x \right)=c\left( {{y}_{1}}\left( x \right)-{{y}_{2}}\left( x \right) \right)+{{y}_{2}}\left( x \right)=cx+{{x}^{2}}$ là nghiệm tổng quát của phương trình ${y}'-\frac{y}{x}=x$.

            Phương trình vi phân Becnulli

            Phương trình vi phân Becnulli có dạng tổng quát

${y}'+p\left( x \right)y=q\left( x \right){{y}^{\alpha }}$  (10)

            Nếu $\alpha =0$ hoặc $\alpha =1$ thì phương trình (10) trở thành phương trình (3).

            Nếu $\alpha \ne 0,\alpha \ne 1$, chia cả hai vế của (10) cho ${{y}^{\alpha }}$ ta được

$\frac{{{y}'}}{{{y}^{\alpha }}}+p\left( x \right){{y}^{1-\alpha }}=q\left( x \right)$ (11)

            Đặt $u={{y}^{1-\alpha }}$, phương trình (11) trở thành

$\frac{{{u}'}}{1-\alpha }+p\left( x \right)u=q\left( x \right)$ (12)

            Phương trình (12) chính là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Nghiệm của nó được xác định thông qua (8).

            Ví dụ 3: Giải phương trình vi phân ${y}'-\frac{y}{3x}=\frac{2{{x}^{2}}}{3{{y}^{2}}}$ với $y\left( 1 \right)=1$.

            Giải

            Nhân cả hai vế của phương trình trên cho ${{y}^{2}}$ ta được

${y}'{{y}^{2}}-\frac{{{y}^{3}}}{3x}=\frac{2}{3}{{x}^{2}}$ (13)

            Đặt $u={{y}^{3}}$, phương trình (13) trở thành

$\frac{{{u}'}}{3}-\frac{u}{3x}=\frac{2}{3}{{x}^{2}}$

$\Leftrightarrow {u}'-\frac{u}{x}=2{{x}^{2}}$  (14)

            Giải (14) ta được nghiệm tổng quát

$u=x\left( {{x}^{2}}+C \right)$

$\Leftrightarrow {{y}^{3}}=x\left( {{x}^{2}}+C \right)$

            Mặt khác, theo giả thiết $y\left( 1 \right)=1$ nên ta suy ra được $C=0$.

            Phương trình vi phân Riccati

            Phương trình vi phân Riccati có dạng tổng quát

${y}'=p\left( x \right){{y}^{2}}+q\left( x \right)y+r\left( x \right)$  (14)

trong đó các hàm số $p\left( x \right),q\left( x \right),r\left( x \right)$ là các hàm số liên tục trong tập $J\subset R$.

            Phương trình vi phân Riccati không có phương pháp giải tổng quát nhưng nếu biết đươc một nghiệm riêng của nó thì việc tìm nghiệm tổng quát không mấy khó khăn.

            Giả sử ${{y}_{1}}\left( x \right)$ là một nghiệm riêng của (14), ta sẽ tìm một nghiệm riêng khác của nó ở dạng ${{y}_{2}}\left( x \right)={{y}_{1}}\left( x \right)+\frac{1}{u\left( x \right)}$. Thay  ${{y}_{2}}\left( x \right)={{y}_{1}}\left( x \right)+\frac{1}{u\left( x \right)}$ vào (14) ta được

${{{y}'}_{1}}-\frac{{{u}'}}{{{u}^{2}}}=p\left( x \right){{\left( {{{{y}'}}_{1}}+\frac{1}{u} \right)}^{2}}+q\left( x \right)\left( {{{{y}'}}_{1}}+\frac{1}{u} \right)+r\left( x \right)$

$\Leftrightarrow {u}'+\left[ 2p\left( x \right){{y}_{1}}+q\left( x \right) \right]u+q\left( x \right)=0$  (15)

            Phương trình (15) được giải thông qua (8).

            Ví dụ 4: Phương trình vi phân Riccati ${y}'=1+{{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}$ có một nghiệm riêng là ${{y}_{1}}=x$. Thay \[{{y}_{2}}={{y}_{1}}+\frac{1}{u}=x+\frac{1}{u}\] vào phương trình trên ta được ${u}'+1=0$, suy ra $u=-x+c,x\ne c$.  Vậy phương trình vi phân đã cho có nghiệm tổng quát là $y=x+\frac{1}{-x+c},x\ne c.$