PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 (Phần 2)

             Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất

${y}''+p\left( x \right){y}'+q\left( x \right)y=0$    (1)

trong đó hai hàm số $p\left( x \right),q\left( x \right)$ liên tục trong tập $J\subset R$.

            Trong phần trước ta đã làm rõ một vấn đề: Nếu phương trình (1) có một nghiệm riêng ${{y}_{1}}\left( x \right)$ khác 0 thì luôn tồn tại một nghiệm riêng ${{y}_{2}}\left( x \right)$ của (1) độc lập tuyến tính với ${{y}_{1}}\left( x \right)$, đồng thời ta có thể xác định ${{y}_{2}}\left( x \right)$ thông qua công thức

${{y}_{2}}\left( x \right)={{y}_{1}}\left( x \right)\int{\frac{1}{y_{1}^{2}\left( x \right)}{{e}^{-\int{p\left( x \right)dx}}}dx}$

            Cũng trong phần trước, lần đầu tiên, khái niệm Wronskians của hai hàm số ${{y}_{1}}\left( x \right),{{y}_{2}}\left( x \right)$ đã được xây dựng. Một kết quả hết sức đẹp đẽ mà ta thu nhận: Nếu hai hàm số ${{y}_{1}}\left( x \right),{{y}_{2}}\left( x \right)$ là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của (1) thì Wronskian của chúng sẽ khác không với mọi $x\in J$. Đây là nội dung của hệ quả 2. Trong bài viết hôm nay ta sẽ vận dụng hệ quả này để chứng minh định lý quan trọng sau đây:

            Định lý 3. Nếu ${{y}_{1}}\left( x \right),{{y}_{2}}\left( x \right)$ là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của (1) thì với mọi nghiệm ${{y}_{3}}\left( x \right)$ của (1), luôn tồn tại hai hằng số $c_1,c_2$ sao cho ${{y}_{3}}\left( x \right)={{c}_{1}}{{y}_{1}}\left( x \right)+{{c}_{2}}{{y}_{2}}\left( x \right)$.

            Chứng minh

            Với mọi $x\in J$, ta xét các vector

$a\left( x \right)=\left( {{y}_{1}}\left( x \right),{{{{y}'}}_{1}}\left( x \right),{{{{y}''}}_{1}}\left( x \right) \right)$

$b\left( x \right)=\left( {{y}_{2}}\left( x \right),{{{{y}'}}_{2}}\left( x \right),{{{{y}''}}_{2}}\left( x \right) \right)$

$c\left( x \right)=\left( {{y}_{3}}\left( x \right),{{{{y}'}}_{3}}\left( x \right),{{{{y}''}}_{3}}\left( x \right) \right)$          

            Gọi $A\left( x \right)$ là ma trận vector dòng tạo bởi 3 vector trên. Ta thấy $\det A\left( x \right)=0$ với mọi $x\in J$ vì cột cuối của ma trận $A\left( x \right)$ có thể biểu thị tuyến tính qua hai cột đầu tiên.

            Hơn nữa, vì ${{y}_{1}}\left( x \right),{{y}_{2}}\left( x \right)$ là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của (1) nên hai vector $a\left( x \right),b\left( x \right)$ độc lập tuyến tính với mọi $x\in J$. Thật vậy, nếu có ${{x}_{0}}$ sao cho $a\left( {{x}_{0}} \right),b\left( {{x}_{0}} \right)$ phụ thuộc thì tồn tại hằng số $c$ sao cho $a\left( {{x}_{0}} \right)=cb\left( {{x}_{0}} \right)$, suy ra $W\left( {{y}_{1}},{{y}_{2}} \right)\left( {{x}_{0}} \right)=0$. Do đó, $W\left( {{y}_{1}},{{y}_{2}} \right)\left( x \right)=0$ với mọi $x\in J$. Theo hệ quả 2 thì hai hàm ${{y}_{1}}\left( x \right),{{y}_{2}}\left( x \right)$ sẽ phụ thuộc tuyến tính, trái giả thiết. Vậy $a\left( x \right),b\left( x \right)$ độc lập tuyến tính với mọi $x\in J$.

            Từ các kết quả trên ta khẳng định vector $c\left( x \right)$ biểu thị tuyến tính qua hệ hai vector $a\left( x \right),b\left( x \right)$ mọi $x\in J$, tức tồn tại hai hàm số ${{c}_{1}}\left( x \right),{{c}_{2}}\left( x \right)$ sao cho $c\left( x \right)={{c}_{1}}\left( x \right)a\left( x \right)+{{c}_{2}}\left( x \right)b\left( x \right)$ hay

${{y}_{3}}\left( x \right)={{c}_{1}}\left( x \right){{y}_{1}}\left( x \right)+{{c}_{2}}\left( x \right){{y}_{2}}\left( x \right)$     (2)

${{{y}'}_{3}}\left( x \right)={{c}_{1}}\left( x \right){{{y}'}_{1}}\left( x \right)+{{c}_{2}}\left( x \right){{{y}'}_{2}}\left( x \right)$     (3)

${{{y}''}_{3}}\left( x \right)={{c}_{1}}\left( x \right){{{y}''}_{1}}\left( x \right)+{{c}_{2}}\left( x \right){{{y}''}_{2}}\left( x \right)$     (4)

            Từ (2) và (3) ta suy ra được

${{{c}'}_{1}}\left( x \right){{y}_{1}}\left( x \right)+{{{c}'}_{2}}\left( x \right){{y}_{2}}\left( x \right)=0$     (5)

            Từ (3) và (4) ta suy ra được

${{{c}'}_{1}}\left( x \right){{{y}'}_{1}}\left( x \right)+{{{c}'}_{2}}\left( x \right){{{y}'}_{2}}\left( x \right)=0$   (6)

            Vì ${{y}_{1}}\left( x \right),{{y}_{2}}\left( x \right)$ là 2 nghiệm độc lập tuyến tính nên từ (5) và (6) ta được ${{{c}'}_{1}}\left( x \right)={{{c}'}_{2}}\left( x \right)=0$ với mọi $x\in J$. Vậy  ${{c}_{1}}\left( x \right),{{c}_{2}}\left( x \right)$ là các hằng số, Đinh lý 3 đã được chứng minh.

            Hệ quả 3. Nếu ${{y}_{1}}\left( x \right),{{y}_{2}}\left( x \right)$ là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của (1) thì (1) có nghiệm tổng quát là

$y\left( x \right)={{c}_{1}}{{y}_{1}}\left( x \right)+{{c}_{2}}{{y}_{2}}\left( x \right)$

            Ví dụ 2. Phương trình vi phân ${y}''-\frac{3{y}'}{x}+\frac{3y}{{{x}^{2}}}=0,x\ne 0$ có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính ${{y}_{1}}={{x}^{3}}$ và ${{y}_{2}}=-\frac{x}{2}$ nên nó có nghiệm tổng quát là $y={{c}_{1}}{{x}^{3}}+{{c}_{2}}x$.