PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 (Phần 3)

Trong phần 2 ta đã tìm hiểu cấu trúc nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

${y}''+p\left( x \right){y}'+q\left( x \right)y=0$     (1)

trong đó hai hàm số $p\left( x \right),q\left( x \right)$ liên tục trong tập $J\subset R$.  

Sau đây, ta sẽ vận dụng kết quả đạt được để giải một số dạng phương trình vi phân cấp 2 đặc biệt:

Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuần nhất hệ số hằng:         

Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuần nhất hệ số hằng có dạng tổng quát

${y}''+a{y}'+by=0;a,b\in R$ (2)

Công việc của ta là tìm hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (2). Khi đó, nghiệm tổng quát của (2) sẽ được xác định. Nhưng ta tìm bằng cách nào?

Giả sử ở phương trình (2) ta giảm đi một “cấp” để được phương trình đơn giản hơn như sau:

${y}'+ay=0;a\in R$  (3)

Như đã biết,  phương trình (3) có nghiệm tổng quát $y=C{{e}^{-ax}}$. Do đó, ý tưởng của ta là tìm một nghiệm  riêng dạng $y={{e}^{kx}}$ của (2).

Thay $y={{e}^{kx}}$ vào (2) ta được

${{k}^{2}}+ak+b=0$   (4)

Phương trình (4) được gọi là phương trình đặc  trưng của (2). Ta xét 3 trường hợp sau:

Trường hợp 1: (4) có hai nghiệm thực phân biệt ${{k}_{1}},{{k}_{2}}$. Khi đó, (2) có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính ${{y}_{1}}={{e}^{{{k}_{1}}x}},{{y}_{2}}={{e}^{{{k}_{2}}x}}$. Vậy, nghiệm tổng quát của (2) là

$y\left( x \right)={{C}_{1}}{{e}^{{{k}_{1}}x}}+{{C}_{2}}{{e}^{{{k}_{2}}x}}$

Trường hợp 2: (4) có nghiệm kép ${{k}_{1}}={{k}_{2}}=k=-\frac{a}{2}$. Khi đó, (2) có một nghiệm riêng ${{y}_{1}}={{e}^{kx}}$. Để xác định thêm nghiệm riêng ${{y}_{2}}$ độc lập tuyến tính với ${{y}_{1}}$ ta áp dụng công thức

${{y}_{2}}={{y}_{1}}\int{\frac{1}{y_{1}^{2}}{{e}^{-\int{a}dx}}dx}={{y}_{1}}\int{dx}=x{{y}_{1}}=x{{e}^{kx}}$

Vậy, phương trình (2) có nghiệm tổng quát là

$y\left( x \right)={{e}^{kx}}\left( {{C}_{1}}+{{C}_{2}}x \right)$

Trường hợp 3: (4) có hai nghiệm phức ${{k}_{1}}=\alpha +\beta i,{{k}_{2}}=\alpha -\beta i$. Áp dụng công thức Euler ta được

${{e}^{\left( \alpha \pm \beta i \right)x}}={{e}^{\alpha x}}\left( \cos \beta x\pm i\sin \beta x \right)$ (5)

Thay (5) vào (2) ta được ${{y}_{1}}={{e}^{\alpha x}}\cos \beta x,{{y}_{2}}={{e}^{\alpha x}}\sin \beta x$ là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (2). Vậy,  phương trình (2) có nghiệm tổng quát là

$y\left( x \right)={{e}^{\alpha x}}\left( {{C}_{1}}\cos \beta x+{{C}_{2}}\sin \beta x \right)$

Phương trình vi phân Cauchy-Euler

Phương trình vi phân Cauchy-Euler có dạng tổng quát

${{x}^{2}}{y}''+ax{y}'+by=0;a,b\in R,x>0$   (6)

Cũng giống như phương trình (2). Ta cần tìm hai nghiệm độc lập tuyến tính của (6).  Ta thử hạ cấp của (6) xuống 1 bậc để được phương trình dạng sau:

$x{y}'+ay=0;a\in R,x>0$  (7)

Như đã biết, phương trình (7) có nghiệm $y={{x}^{-a}}$.  Do đó, ta thử tìm một nghiệm riêng của (6) ở dạng $y={{x}^{m}}$.

Thay  $y={{x}^{m}}$ vào (6) ta được

$m\left( m-1 \right)+am+b=0$  (8)

Phương trình (8) được gọi là phương trình đặc  trưng của (6). Ta xét 3 trường hợp sau:

Trường hợp 1: (8) có hai nghiệm phân biệt ${{m}_{1}},{{m}_{2}}$. Khi đó, (6) có hai nghiệm ${{y}_{1}}={{x}^{{{m}_{1}}}},{{y}_{2}}={{x}^{{{m}_{2}}}}$ độc lập tuyến tính. Do đó, (6) có nghiệm tổng quát là

$y\left( x \right)={{C}_{1}}{{x}^{{{m}_{1}}}}+{{C}_{2}}{{x}^{{{m}_{2}}}}$

Trường hợp 2: (8) có nghiệm kép ${{m}_{1}}={{m}_{2}}=m=\frac{1-a}{2}$. Khi đó, (6) có nghiệm riêng ${{y}_{1}}={{x}^{m}}$. Để xác định nghiệm riêng ${{y}_{2}}$ của (6) độc lập tuyến tính với ${{y}_{1}}$ ta sử dụng công thức

${{y}_{2}}={{y}_{1}}\int{\frac{1}{y_{1}^{2}}{{e}^{-\int{\frac{a}{x}dx}}}dx}={{x}^{m}}\ln x$

Do đó, (6) có nghiệm tổng quát là

$y\left( x \right)={{x}^{m}}\left( {{C}_{1}}+{{C}_{2}}\ln x \right)$

Trường hợp 3: (8) có hai nghiệm phức ${{m}_{1}}=\alpha +i\beta ,{{m}_{2}}=\alpha -i\beta $. Sử dụng công thức Euler ta được

${{x}^{\left( \alpha \pm i\beta  \right)}}={{e}^{\alpha \ln x\pm i\beta \ln x}}={{x}^{\alpha }}\left( \cos \left( \beta \ln x \right)\pm i\sin \left( \beta \ln x \right) \right)$  (9)

Thay (9) vào (6) ta được ${{y}_{1}}={{x}^{\alpha }}\cos \left( \beta \ln x \right),{{y}_{2}}={{x}^{\alpha }}\sin \left( \beta \ln x \right)$ là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (6). Do đó, (6) có nghiệm tổng quát là

$y\left( x \right)={{x}^{\alpha }}\left( {{C}_{1}}\cos \left( \beta \ln x \right)+{{C}_{2}}\sin \left( \beta \ln x \right) \right)$