Trong phần 2 ta đã giải quyết khá hoàn thiện vấn đề
tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính, thuần nhất
${y}''+p\left( x
\right){y}'+q\left( x \right)y=0,$ (1)
Trong bài viết hôm nay, ta sẽ mở rộng các kết quả đã tìm được
để giải quyết bài toán tổng quát hơn: tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi
phân tuyến tính cấp 2
${y}''+p\left( x
\right){y}'+q\left( x \right)y=r\left( x \right),$ (2)
trong đó các hàm số $p\left(
x \right),q\left( x \right),r\left( x \right)$ liên tục trong tập $J\subset R$.
Định lý 1. Nếu ${{y}_{1}}\left( x
\right),{{y}_{2}}\left( x \right)$ là
hai nghiệm của (2) thì $y\left( x \right)={{y}_{1}}\left( x
\right)-{{y}_{2}}\left( x \right)$ là
nghiệm của (1).
Chứng minh
Vì ${{y}_{1}}\left( x \right),{{y}_{2}}\left( x \right)$ là
hai nghiệm của (2) nên ta có các đẳng thức
${{{y}''}_{1}}+p\left(
x \right){{{y}'}_{1}}+q\left( x \right){{y}_{1}}=r\left( x \right),$ (3)
${{{y}''}_{2}}+p\left(
x \right){{{y}'}_{2}}+q\left( x \right){{y}_{2}}=r\left( x \right).$ (4)
Lấy (4)-(3) ta được ${{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}}
\right)}^{\prime \prime }}+p\left( x \right){{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}}
\right)}^{\prime }}+q\left( x \right)\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)=0$. Vậy
$y\left( x \right)={{y}_{1}}\left( x \right)-{{y}_{2}}\left( x \right)$ là nghiệm
của (1).
Hệ quả. Nếu ${{y}_{r}}\left( x \right)$ là một nghiệm
riêng của (2) và ${{y}_{tn}}\left( x \right)$ là nghiệm tổng quát của (1) thì $y\left(
x \right)={{y}_{r}}\left( x \right)+{{y}_{tn}}\left( x \right)$ là nghiệm tổng
quát của (2).
Việc xác định ${{y}_{tn}}\left( x \right)$ đã được thực hiện trong phần 2 nên vấn đề trọng tâm của ta là tìm được nghiệm riêng ${{y}_{r}}\left( x \right)$.
Sau đây, ta sẽ trình bày một cách tìm ${{y}_{r}}\left( x \right)$.
Gọi ${{y}_{1}}\left( x \right),{{y}_{2}}\left( x \right)$ là
hai nghiệm độc lập tuyến tính của (1). Ta sẽ tìm hai hàm ${{c}_{1}}\left( x \right),{{c}_{2}}\left( x
\right)$ để $y\left( x
\right)={{c}_{1}}\left( x \right){{y}_{1}}\left( x \right)+{{c}_{2}}\left( x
\right){{y}_{2}}\left( x \right)$ là nghiệm riêng của (2). Với $y\left( x
\right)={{c}_{1}}\left( x \right){{y}_{1}}\left( x \right)+{{c}_{2}}\left( x
\right){{y}_{2}}\left( x \right)$ ta có
${y}'={{{c}'}_{1}}{{y}_{1}}+{{{y}'}_{1}}{{c}_{1}}+{{{c}'}_{2}}{{y}_{2}}+{{c}_{2}}{{{y}'}_{2}}.$ (5)
Ta giả sử
${{{c}'}_{1}}{{y}_{1}}+{{{c}'}_{2}}{{y}_{2}}=0.$ (6)
Khi đó,
${{{c}'}_{1}}{{y}_{1}}+{{{c}'}_{2}}{{y}_{2}}=0.$ (6)
Khi đó,
${y}''={{{c}'}_{1}}{{{y}'}_{1}}+{{c}_{1}}{{{y}''}_{1}}+{{{c}'}_{2}}{{{y}'}_{2}}+{{c}_{2}}{{{y}''}_{2}}.$ (7)
Thay (5),(6) và (7) vào (2) ta được
${{{c}'}_{1}}{{{y}'}_{1}}+{{c}_{1}}{{{y}''}_{1}}+{{{c}'}_{2}}{{{y}'}_{2}}+{{c}_{2}}{{{y}''}_{2}}+p\left(
x \right)\left( {{c}_{1}}{{{{y}'}}_{1}}+{{c}_{2}}{{{{y}'}}_{2}} \right)+q\left(
x \right)\left( {{c}_{1}}{{y}_{1}}+{{c}_{2}}{{y}_{2}} \right)=r\left( x
\right)$
$\Leftrightarrow
{{c}_{1}}\left( {{{{y}''}}_{1}}+p\left( x \right){{{{y}'}}_{1}}+q\left( x \right){{y}_{1}}
\right)+{{c}_{2}}\left( {{{{y}''}}_{2}}+p\left( x \right){{{{y}'}}_{2}}+q\left(
x \right){{y}_{2}} \right)+{{{c}'}_{1}}{{{y}'}_{1}}+{{{c}'}_{2}}{{{y}'}_{2}}=r\left(
x \right)$
$\Leftrightarrow
{{{c}'}_{1}}{{{y}'}_{1}}+{{{c}'}_{2}}{{{y}'}_{2}}=r\left( x \right).$ (8)
Từ (6) và (8) ta suy ra được
${{{c}'}_{1}}=\frac{-r\left(
x \right){{y}_{2}}}{W\left( {{y}_{1}},{{y}_{2}} \right)\left( x
\right)},{{{c}'}_{2}}=\frac{r\left( x \right){{y}_{1}}}{W\left(
{{y}_{1}},{{y}_{2}} \right)\left( x \right)}.$
Do đó,
${{c}_{1}}\left( x
\right)=\int\limits_{{}}^{x}{\frac{-r\left( t \right){{y}_{2}}\left( t
\right)}{W\left( {{y}_{1}},{{y}_{2}} \right)\left( t
\right)}dt},{{c}_{2}}\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{x}{\frac{r\left( t
\right){{y}_{1}}\left( t \right)}{W\left( {{y}_{1}},{{y}_{2}} \right)\left( t
\right)}dt}$ (9)
Hai hàm ${{c}_{1}},{{c}_{2}}$ đã được xác định thông qua công
thức (9). Khi đó, nghiệm riêng ${{y}_{r}}\left( x \right)$ có dạng sau:
${{y}_{r}}\left( x
\right)={{c}_{1}}\left( x \right){{y}_{1}}\left( x \right)+{{c}_{2}}\left( x
\right){{y}_{2}}\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{x}{H\left( x,t
\right)r\left( t \right)dt}$
trong đó $H\left( x,t
\right)=\frac{{{y}_{1}}\left( t \right){{y}_{2}}\left( x
\right)-{{y}_{1}}\left( x \right){{y}_{2}}\left( t \right)}{W\left(
{{y}_{1}},{{y}_{2}} \right)\left( t \right)}$.
Ví dụ. Tìm nghiệm
tổng quát của phương trình vi phân ${y}''-5{y}'+6y=2{{e}^{x}}$.
Giải
Phương trình vi phân ${y}''-5{y}'+6y=0$có hai nghiệm riêng độc
lập tuyến tính là ${{y}_{1}}={{e}^{2x}},{{y}_{2}}={{e}^{3x}}$. Do đó, phương
trình đã cho có nghiệm tổng quát $y\left( x \right)={{y}_{tn}}\left( x
\right)+{{y}_{r}}\left( x \right)$ với ${{y}_{tn}}\left( x
\right)={{c}_{1}}{{e}^{2x}}+{{c}_{2}}{{e}^{3x}}$ và ${{y}_{r}}\left( x
\right)=\int\limits_{{}}^{x}{H\left( x,t \right)r\left( t \right)dt}$.
Ta có
$H\left( x,t
\right)=\frac{{{y}_{1}}\left( t \right){{y}_{2}}\left( x
\right)-{{y}_{1}}\left( x \right){{y}_{2}}\left( t \right)}{W\left(
{{y}_{1}},{{y}_{2}} \right)\left( t
\right)}=\frac{{{e}^{2t+3x}}-{{e}^{2x+3t}}}{{{e}^{5t}}}={{e}^{3x-3t}}-{{e}^{2x-2t}}.$
Suy ra ${{y}_{r}}\left( x
\right)=\int\limits_{{}}^{x}{2\left( {{e}^{3x-2t}}-{{e}^{2x-t}}
\right)dt}={{e}^{x}}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là
$y\left( x
\right)={{y}_{tn}}\left( x \right)+{{y}_{r}}\left( x
\right)={{c}_{1}}{{e}^{2x}}+{{c}_{2}}{{e}^{3x}}+{{e}^{x}}$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét