Ta xét phương trình vi phân cấp 1
$M\left( x,y \right)+N\left( x,y \right){y}'=0$ (1)
Giả sử $M\left( x,y
\right)={{p}_{1}}\left( x \right)y-r\left( x \right);N\left( x,y
\right)={{p}_{0}}\left( x \right)$, trong đó các hàm số ${{p}_{0}}\left( x
\right),{{p}_{1}}\left( x \right),r\left( x \right)$ liên tục trong tập $J\subset
R$ và ${{p}_{0}}\left( x \right)\ne 0,\forall x\in J$. Khi đó, phương trình (1)
đã cho trở thành
${{p}_{0}}\left( x \right){y}'+{{p}_{1}}\left( x
\right)y=r\left( x \right)$ (2)
Chia cả hai vế của (2) cho ${{p}_{0}}\left( x \right)$,
đồng thời ta đặt $p\left( x \right)=\frac{{{p}_{1}}\left( x
\right)}{{{p}_{0}}\left( x \right)};q\left( x \right)=\frac{r\left( x
\right)}{{{p}_{0}}\left( x \right)}$ thì
phương trình (2) có dạng
${y}'+p\left( x \right)y=q\left( x \right)$ (3)
Phương trình (3) được gọi là phương trình vi phân tuyến
tính cấp 1.
Trước hết ta xét trường hợp đơn giản $q\left( x
\right)\equiv 0$. Khi đó, phương trình (3) trở thành
${y}'+p\left( x \right)y=0$ (4)
Phương trình (4) luôn có nghiệm tầm thường là $y\left( x
\right)\equiv 0$. Nếu $y\left( x \right)$ không đồng nhất bằng không, biến đổi
(4) về dạng tương đương
$\frac{{{y}'}}{y}=-p\left( x \right)$ (5)
Lấy tích phân hai vế của (5) ta được
$y=C\exp \left( -\int{p\left( x \right)dx} \right)$
(6)
Từ (6) cho $C=0$ thì ta được $y\left(
x \right)\equiv 0$. Do đó, phương trình (4) có nghiệm tổng quát là (6).
Để giải (3) ta dùng phương pháp biến
thiên hẳng số được sáng tạo bởi Lagrange. Trong (6) ta giả sử hằng số $C$ là
một hàm số của $x$, tức là
$y\left( x \right)=C\left( x \right)\exp \left(
-\int{p\left( x \right)dx} \right)$ (7)
